圆盘定理(org)

圆盘定理：圆盘定理是用来估计矩阵特征值的一个工具，为什么要对矩阵的特征值进行估计呢？精确计算不就行了么？这是我们的教育所造成的错误的印象，在高代课上，老师和学生都津津乐道于精确计算矩阵的特征值的优美方法，却不讲一点“扫兴“的东西，比如矩阵的特征值估计，所以，几乎所有的本科生在课堂上都没有学过矩阵的谱分析和圆盘定理。在实际情况中，精确计算矩阵的特征值有时是一件物理不可能的事情，并且很多情况下只需要一个粗略的估计就够了，比如在在线性系统理论中，通过估计系统矩阵A的特征值是否有负实部，便可以判断系统的稳定性；当研究一个迭代算法的收敛性时便要判断迭代矩阵的特征值是否都在单位圆内，等等。圆盘定理又称Gerschgorin定理，它是说任一n阶复矩阵A=（a_ij）的特征值都在都在复平面上的n个圆盘Z—a_ij <=R_i (i=1,2,3……,n)的并集内，这里的R_I=a_i1 +a_i2 +a_i3 +…+a_ii-1 +a_ii+1 +…+a_in，这只是一个存在性的估计，并没有指出在哪一个圆盘中有多少个特征值，下面的圆盘定理2更加精确的表示了A的特征值的分布状况，矩阵A的任一由K个Gerschgorin圆组成的连通部分里，有且仅有A的K个特征值（当A的主对角线上有相同的元素时，则按重数计算，有相同的特征值时也要按重数计算），由此可知，在一个Gerschgorin圆组成的连通部分内有且仅有一个特征值，由两个Gerschgorin圆组成的连通部分内有且仅有两个特征值，但游客能这两个特征值都落在同一个圆盘内，而另一个圆盘内一个特征值也没有，期于情况依此类推。