Atiyah-Floer 猜想(rep)

这篇文章主要介绍 Atiyah-Floer 猜想的历史和大意，及一些相关内容。限于本人水平，错漏在所难免，欢迎批评指正。这个话题要从 Morse 理论谈起。Morse理论最初产生于“大范围变分学”，是关于流形上函数的临界点的理论。这个思想是很不可思议的。我们只需要研究流形上的某一个函数（这个函数满足一些非常普通的要求），我们就能得到流形的大量信息，比如它的胞腔结构。Morse 理论在Witten 之前主要应用在两个方面：（1）有限维流形的构造。比如Milnor的怪球，四维流形的一般构造和Kirby calculus，Smale 关于5维以上Poincare猜想的证明等等。（2）某些无限维流形的胞腔结构，黎曼流形和李群的道路空间等等。据考证，Milnor和Smale 多少知道一些现在流行的关于Morse理论的看法。Thom 和 Smale 大概已经意识到了现在所谓 Morse-Witten complex. 而 Milnor 已经开始使用现在流行的“梯度流” 来对待 Morse 理论。到了1982年，Witten 还没有正式开始做弦论的时候，已经写出了"Supersymmetry and Morse theory"这么一篇文章。这篇文章研究一维超对称非线性sigma模型，就是研究一个质点在一个弯曲的超空间M里怎么运动。通过对这个模型的研究，Witten 把 Hodge 理论和 Morse 理论联系起来。再晚些时候，Floer 吸收了 Witten 这篇论文的思想, 进而用这种看法研究了两个数学问题。 第一个问题是 Arnold 猜想的一个特殊形式，简单说，就是辛流形里面的一个 Lagrange 子流形 L，在沿着 Hamilton 向量场滑动以后跟原来相交，交点的个数不能太少，至少应该是 L 所有 Betti 数的和。这个比拓扑上的限制强多了，单从拓扑的角度，对 L 做任意扰动以后跟自己相交，交点个数不能少于 L 的 Euler 数。所以辛扰动所受的限制更强。Floer 构造了一个链复形，由那些交点生成，边缘算子是对交点之间的“全纯条带”进行计数。这个链复形的同调被证明同构于 L 的奇异同调，所以生成元的个数至少是 L 的 Betti 数的和。这样就证明了这个特殊条件下的 Arnold conjecture. 这种 Lagrange 子流形相交形成的同调理论就叫做 Langrangian Floer homology theory. 第二个问题是三维流形的 Casson 不变量问题。这个不变量对流形 M 基本群的二维不可约酉表示 （严格来说，到 SU(2) 的表示）进行计数。在这个不变量提出不久，Taubes 给出了一个规范理论的解释：任一个从基本群到 SU(2) 的表示对应到流形上一个平坦 SU(2) 联络，而平坦联络正好是 Chern-Simons 泛函的临界点。这样在所有联络的这个无穷维空间上有一个自然的 Morse 函数 －－－ Chern-Simons 泛函。这个泛函的“梯度流”决定的微分方程实际上是自对偶 Yang-Mills 方程。Floer 结合了 Taubes 和 Witten，构造了一个链复形，生成元是三维流形 M 上的 SU(2)-平坦联络，而边缘算子是对四维流形 M*R 上“连接”两个三维流形平坦联络的自对偶 Yang-Mills 联络的计数。这个链复形的同调群的 Euler 数正好是 Casson 不变量的两倍。这个同调理论就叫做 Floer instanton homology theory （瞬子同调）. 在 Casson 发明他的不变量的时候，他已经找到了一个计算方法，即，把三维流形 M 分解成两个“手柄” X, Y，沿一个曲面 S 粘合 （ Heegaard splitting ）。从 S 的基本群到 SU(2) 的表示形成一个空间 R，从 X 的基本群到 SU(2) 的表示形成 R 的一个子空间 U, 从 Y 的基本群到 SU(2) 的表示形成 R 的另一个子空间 V，这个两个子空间 U 和 V 的交集就是那些在曲面上相容的表示，从而就是三维流形 M 的基本群到 SU(2) 的表示。所以计算 Casson 不变量的问题变成数两个子流形交点的问题。说到这个，大家可能觉得似曾相识，不错，这个两个子流形 U, V 还真的可以作为 R 的 Lagrange 子流形。既然 Casson 不变量是两个 Lagrange 子流形的相交数，那么它实际上就是这两个 Lagrange 子流形的 Lagrangian Floer homology 的 Euler 数。但同时它又是 Floer instanton homology 的 Euler 数。所以这两种同调有相同的 Euler 数。一个自然的猜想是（当时不是那么自然，比如 Floer 本人就没有意识到），这两种同调其实是同构的。这个猜想是 Atiyah 在纪念 Weyl 的一个会议上提出来的，所以被称为 Atiyah-Floer 猜想。在同一个报告中，他还提出了另一个猜想，即 Jones 多项式一定跟 Floer instanton homology 有关系，从而跟量子场论有关系。Witten 在很大意义上解决了这个猜想，这就是他著名的文章“量子场论与 Jones 多项式”。然而，Jones 多项式同 Floer instanton homology 的关系到现在还不是很清楚。 Atiyah-Floer 猜想的这种两种同调间的同构，虽然还没有被证明，但是已经激发了另一个非常出色的工作，这就是 Ozsvath 和 Szabo 发明的 Heegaard-Floer homology。它的发明就是为了给 Seiberg-Witten homology 找一个对应，因为 Seiberg-Witten 类似于瞬子同调，而 Heegaard-Floer 类似于 Lagrangian 同调。所以相应于 Atiyah-Floer 猜想，现在还有一个 “Ozsvath-Szabo 猜想”，即，Seiberg-Witten 与 Heegaard-Floer 是同构的。 二零零六年三月二十三日 发表于繁星客栈http://www.changhai.org/bbs/
by 季候风

圆盘定理(org)

圆盘定理：圆盘定理是用来估计矩阵特征值的一个工具，为什么要对矩阵的特征值进行估计呢？精确计算不就行了么？这是我们的教育所造成的错误的印象，在高代课上，老师和学生都津津乐道于精确计算矩阵的特征值的优美方法，却不讲一点“扫兴“的东西，比如矩阵的特征值估计，所以，几乎所有的本科生在课堂上都没有学过矩阵的谱分析和圆盘定理。在实际情况中，精确计算矩阵的特征值有时是一件物理不可能的事情，并且很多情况下只需要一个粗略的估计就够了，比如在在线性系统理论中，通过估计系统矩阵A的特征值是否有负实部，便可以判断系统的稳定性；当研究一个迭代算法的收敛性时便要判断迭代矩阵的特征值是否都在单位圆内，等等。圆盘定理又称Gerschgorin定理，它是说任一n阶复矩阵A=（a_ij）的特征值都在都在复平面上的n个圆盘Z—a_ij <=R_i (i=1,2,3……,n)的并集内，这里的R_I=a_i1 +a_i2 +a_i3 +…+a_ii-1 +a_ii+1 +…+a_in，这只是一个存在性的估计，并没有指出在哪一个圆盘中有多少个特征值，下面的圆盘定理2更加精确的表示了A的特征值的分布状况，矩阵A的任一由K个Gerschgorin圆组成的连通部分里，有且仅有A的K个特征值（当A的主对角线上有相同的元素时，则按重数计算，有相同的特征值时也要按重数计算），由此可知，在一个Gerschgorin圆组成的连通部分内有且仅有一个特征值，由两个Gerschgorin圆组成的连通部分内有且仅有两个特征值，但游客能这两个特征值都落在同一个圆盘内，而另一个圆盘内一个特征值也没有，期于情况依此类推。

about Motivic Cohomology(org)

最近看了一个讲义，讲代数K理论的，偶然在我的电子书籍里发现的，也不知道是谁的讲义，可能下载的时候intrduction 给漏了，不过我觉得讲的挺不错的，也适合我这种低水平的人，再高深点就看不懂了。主要是结构相当清楚。大致的描绘一下： linknumber theory and other classical topics <----->Algebraic Geometry;Homological and +-constructions K theory of rings<----->number theory and other classical topics ;Q--construction(It is about the Quillen'sconstruction, for exact Categories）:K-theory of vector bundles on schemes ,exact Categories,modules and abelian Categories------->Homological and +-constructions K theory of rings;Group Completions relation to L-theory,Topological K-theory,stable homotopy theory------>Homological and +-constructions K theory of rings;Waldhausen Construction K-theory of Space,K-theory of chain complexes topological rings------>Group Completions relation to L-theory,Topological K-theory,stable homotopy theory;Algebraic topology <------>Geomtric Topology;Waldhausen Construction K-theory of Space,K-theory of chain complexes topological rings<------>Geomtric Topology;Algebraic topology <------>Group Completions relation to L-theory,Topological K-theory,stable homotopy theory;Waldhausen Construction K-theory of Space,K-theory of chain complexes topological rings------>Homological and +-constructions K theory of ringsWaldhausen Construction K-theory of Space,K-theory of chain complexes topological rings------> Q--construction(It is about the Quillen'sconstruction, for exact Categories）:K-theory of vector bundles on schemes ,exact Categories,modules and abelian Categories;这些就是K理论与其他分支的联系了，写的比较清楚。第一章处理Projective Modules and vector bundles ；第二章定义K_0及其在上面图里的各种应用；第三章简短的回顾了经典K-理论中的K_1和K_2；第四章描述了高阶K群的四种结构；第五章阐述了高阶K理论的一个基本结构定理，这是Quillen的贡献。第六章运用Suslin的Homological methods 描述了the structure of the K_theory of fields;第七章让我们见识一下K-理论在代数几何中各种重要应用，这是我最感兴趣的地方；在第八章讨论了K-理论的最新进展：高阶周群（Higher Chow group）和Motivic Cohomology，Motivic Cohomology主要是V.Voevodsky在搞，他曾经在IAS做过一个讲演，后来整理成了书，由Mazza和Weibel整理，在IAS网上应该挂得有，很可惜好多地方看不懂。Motivic Cohomology这是个好东西啊，Grothendieck的很多思想还相当神秘，需要更进一步的发展，不过大部分内容都相当晦涩，很多东西我连边都摸不到，唉！我想，在华人中做代数几何做的最好的应该是Chow和肖刚吧，特别是Chow，好象代数几何里有好几个核心概念是以他的名字命的名啊；肖刚主要工作在于代数曲面的纤维化，他的那本书专门讲纤维化的书，我曾经看过，不过后面没怎么看懂，就不了了之，现在那书应该长虫了吧。现在代数几何做的最好的华人据说是李骏，Yau的学生，从微分几何改行搞代数几何，不晓得是不是真的。另外，好象扶磊读博士也是做微分几何的，看来，微分几何现在的触角已经延展得深不可测了。

数学中一些分解定理(org)

除了PID上的有限生成扭模的分解外，在数学中还有一些可分解的结构，分门别类的讲：1，矩阵论里面的。任一非零的多项式矩阵都等价于一个Smith标准形，这可以算做一个分解定理，属存在性的；与此类似有，每个n阶复矩阵A都与一个Jordan形矩阵相似，由于是相似，所以这也算是一个分解定理，在下面的抽象领域的论述里，我将要讲一个与之类似的定理，在结构上来说，并无本质上的的不同。在酉空间C^n，for each A in the C^(n*n)，都存在酉矩阵U，使得U^HAU=TT为一上三角矩阵，T的主对角线上的元素都是A的特征值，这是一个非常重要的定理，是许多重要定理的证明的出发点，它可以简述为任一复矩阵都酉相似于一个上三角矩阵，它是属于Schur的，是不是立即想到了群表示论，能看出此定理的表示论意义的人，就一个字：牛。我非常喜欢矩阵，可能与我看华先生的多复变有关，华先生从如此简单的矩阵论导出如此美妙和高深的多复变结论，这让我感到很震惊，可能华先生与Grothendieck是两种完全不同的类型，华先生喜欢和善于从简单的东西导出非常深刻的内容，而Grothendieck则乐于和精长从一套庞大和极端抽象的机制出发，同样的解决非常具体而又困难的问题，对我来说，这是两道任督二脉，目前我一处都还没有打通。打通了任一脉都将成为绝顶高手，要打通两处，就如同练就少林七十二绝技，好象在人的历史上，这两者都还没有实现过（我一直好奇《天龙八部》里面的那个扫地僧是不是达到了七十二绝技的境界，武学和数学真的是气韵相通啊），言归正传，矩阵论中还有一个QR分解，这再数值代数中起着重要作用，QR分解定理：任意n阶的复矩阵A都可表为一酉矩阵Q与一上三角矩阵R的乘积，即A=QR，当A可逆时，R还可以取为有正对角元的上三角矩阵，此时Q，R还具有唯一性；若A为实矩阵的话，则Q，R也可取为实矩阵。还有一个有用的分解定理，这就是矩阵的奇异值分解定理：对任一m*n型的复矩阵A，都存在两酉矩阵P和Q，使得P^HAQ成为一个标准的对角形矩阵。矩阵论里还有一些分解定理，由于叙述上的困难就在此打住了。2分析里的一些分解定理，当然有一些不一定有非常强的结构性，但是很漂亮。分析里当然有很多非常深刻的分解定理，但我这里只说一些我熟悉和容易“科普“的定理。 首先我要讲的是单位分解定理，这个定理在整个数学里都是非常重要的，它的作用是把一个整体的问题分解为一些局部的问题，用它可以很轻松的证明广义函数论里面的局部化原理，是单位分解定理的一个很典型的应用。Arithmetic曾告诉我，广义函数论对本科生是很有必要的训练，和Fourier分析一道，都是培养分析感觉的好材料。有些学生（甚至是研究生），对广义函数望而却步，其实，广义函数的本质是非常简单的，就是对偶（Duality），你可以认为它只是数学分析中分部积分的一种抽象推广。单位分解定理是说：设A is subset of R^n，对A的任意开覆盖omiga，则必存在一组在R^n中具有紧支集的光滑函数族T={f_n(x)}，使以下结论成立：1， 0<= f_n(x)<=1;2， {supp f_n(x) } 是局部有限的；3， sigma f_n(x) =1（for all n ），这里不会发生收敛问题，为什么？4， 对任意的 f_n(x) ，其支集必位于omiga中的某个开集中。在复分析里，有Weierstrass分解定理和Mittag—Leffler主部分解定理，前者针对整函数，后者针对亚纯函数，但都没有什么结构性可言，而且不容易书写，所以就暂且不论。Fourier分析中Parseval等式，可能也算得上是一个分解定理，这个等式在Fourier级数中很重要。再就是微分拓扑中的关于紧致超曲面的分离性质，事实上这是一个分解定理：设M是R^(n+1)中的紧致超曲面，则R^(n+1)\M恰有两个连同分支，一个无界，称之为R^(n+1)\M的外部，一个有界，称之为R^(n+1)\M的内部，它们以R^(n+1)\M为共同的边界，从而我们有：任何一个紧致超曲面M都可定向，这是一个很重要的结论，由此就可以引出Gauss映射和Gauss曲率，而关于偶数维超曲面M的Gauss曲率沿着该超曲面的积分问题就是著名的Gauss—Bonnet公式，内蕴地证明此公式是Chern一生最得意的的工作之一，好象Chern曾说过，流形的定向是一个很重要的问题。我们再来看看调和分析，在调和分析中有著名的Calderon—Zygmund分解理论，大家知道，在实变中，往往需要把一个L可积分的函数分解成两部分，一部分有较好的分析性质，而另外一部分的一些特性，我们可以认为的控制，而不会使它太“坏“，这个思想可以运用到关于奇异积分的研究里，1952年，Calderon和Zygmund为了研究奇异积分的存在性和有界性，创立了以他们名字命名的的奇异分解理论，是一种与空间的分解（在实变里我们经常这样做）相结合的函数分解方法，由于C—Z涉及到可积函数的平均值，所以可以在Hardy—Littlewood极大函数里得到应用，这就是：根据C—Z分解，可以获得H—L极大函数Mf（x）的分布函数的逆向估计，从而使我们对Mf（x）的可积性有更深刻的认识。这些都是调和分析（交换非抽象的）里的经典内容，而奇异积分理论则是当代调和分析里最辉煌的篇章。分析中还有很多这样的漂亮的分解定理，我想写但是不能写了，否则后面我非常想写的就写不上了，在Arithmetic的警告和指引下，我的分析功底还差强人意，超过一般的研究生（呵呵，王婆卖瓜了）。接下来我要聊聊抽象代数里面的一些分解定理。3，抽象领域，首先就是在1中我提到过的与矩阵的Jordan标准形的存在性相似的一个定理，这就是有限交换群的结构定理：一个有限Abel群可唯一的分解为素数幂循环群的直和，非常干净的一个定理，有Dirac的风格，蕴涵了很强的结构性，通过模论的语言，你会看到它和矩阵的Jordan标准形的存在性是一回事，这是一个很好的练习，大家不妨做做。我的体会是精熟矩阵理论，对学习抽象代数有很大的好处，有时它们往往在说同一件事情。下面专门讲一下代数几何中的代数簇分解。首先来一下通感，如果把代数簇（或者理想）比作整数，则不可约簇（或者不可约理想）就相当于素数，空代数簇相当于1和—1，算术基本定理的对应物就成了把一个代数簇分解为一些不可约代数簇的并，或者是把一个理想分解成一些不可约理想的交。由Hilbert基定理可以保证代数簇分解的存在性，于是我们有：任一非空代数簇都可以分解为有限个不可约代数簇的并集。在最简分解（即不多不少的意义上）下还是唯一的，尽管有了如此分解，但是不可约簇仍然是一个很复杂的东西，它的性质有时很难把握。先丢下扫兴的东西，让我们去逛逛代数数论吧，在代数数论中有几个比较优美的分解定理，比如Galois 扩域中的素理想分解，主要讲Gal（L/K）对一族理想分解因子的可迁性以及对理想的K共扼的封闭性。若定义数域K的代数整数环为O_k（其实这是一个定理），则有：任何O_k中的分数理想均可唯一表为素理想的乘积，对Ok中的每一个理想而言，也有素理想分解，此时分解还是唯一的。与O_k有关的还有一个著名的分解定理，这就是Dirichlet单位定理：设K为n次数域，K到C中有r_1个实嵌入 和r_2对复嵌入，r_1+2 r_2=n，则U_k=W_k # V_k （这里表示直和），其中，W_k是K中的单位根群，V_k是秩为r= r_1+ r_2—1的自由Abel群（U_k是O_k中的单位群，注意与单位根群的区别），我记得这个定理的证明用了三个引理和三页纸的篇幅，并且使用了几何数论中的Minkowski定理。最后让我们来欣赏一下Lie群和Lie代数中的一些分解定理。首先我要说的是E.Cartan定理：令G为一紧连通Lie群，T为一包含于G的极大环面，则G is the union of gTg^(-1) , the g is ergodic to the G，也就是把G分解为T的一些共轭类，这个定理在研究紧连通Lie群的几乎所有问题时都起着关键的作用，其证明比较难。接下来的这个定理称为Levi分解，一般又叫做Levi—马力茨夫定理：Lie 代数可以唯一分解成根基和半单子代数的直和，证明的大致思路与复半单Lie代数表示完全可约性的证明差不多，Levi首先证明了复的情况，随后Whitehead给出了对复，实都适用的证明，最后苏联数学家马力茨夫又证明了Levi分解的唯一性，这是一个将Lie代数表示论用于研究Lie代数本身的性质的一个很好的例子。在Lie代数中，我们已经知道一般Lie代数的可解性和幂零性都归结为线性Lie代数的可解性和幂零性，所以，只要着力研究线性情况就行了，于是有关线性变化的一些性质就成为了需要，这就是Jordan—Chevally分解定理：设f是C上n维线性空间V的线性变换，则有下面的分解：1， 存在唯一的一对线性变换f_1和 f_2满足：f_1和 f_2分别为半单，幂零线性变换；f_1* f_2（表示乘积）可 交换；f=f_1+f_2；2， 存在C上的多项式P（x）和Q（x），使得f_1=P（f）， f_2=Q（f）。这个定理非常优美，即使你没有学过Lie代数，在高代中它也是很有用的，有出人意料的应用。

Quotations by David Hilbert(mix)

Wir müssen wissen. Wir werden wissen. We must know. We will know.{Speech in Königsberg in 1930, now on his tomb in Göttingen]
Before beginning I should put in three years of intensive study, and I haven't that much time to squander on a probable failure.[On why he didn't try to solve Fermat's last theorem]Quoted in E T Bell Mathematics, Queen and Servant of Science (New York 1951).
Galileo was no idiot. Only an idiot could believe that science requires martyrdom - that may be necessary in religion, but in time a scientific result will establish itself.Quoted in H Eves Mathematical Circles Squared (Boston 1971).
I have tried to avoid long numerical computations, thereby following Riemann's postulate that proofs should be given through ideas and not voluminous computations.Report on Number Theory, 1897.
Mathematics is a game played according to certain simple rules with meaningless marks on paper.Quoted in N Rose Mathematical Maxims and Minims (Raleigh N C 1988).
How thoroughly it is ingrained in mathematical science that every real advance goes hand in hand with the invention of sharper tools and simpler methods which, at the same time, assist in understanding earlier theories and in casting aside some more complicated developments.
The art of doing mathematics consists in finding that special case which contains all the germs of generality.Quoted in N Rose Mathematical Maxims and Minims (Raleigh N C 1988).
The further a mathematical theory is developed, the more harmoniously and uniformly does its construction proceed, and unsuspected relations are disclosed between hitherto separated branches of the science.Quoted in N Rose Mathematical Maxims and Minims (Raleigh N C 1988).
One can measure the importance of a scientific work by the number of earlier publications rendered superfluous by it. Quoted in H Eves Mathematical Circles Revisited (Boston 1971).
Mathematics knows no races or geographic boundaries; for mathematics, the cultural world is one country.Quoted in H Eves Mathematical Circles Squared (Boston 1971).
The infinite! No other question has ever moved so profoundly the spirit of man.Quoted in J R Newman, The World of Mathematics (New York 1956).
No one shall expel us from the paradise that Cantor has created for us.
He who seeks for methods without having a definite problem in mind seeks in the most part in vain.
If one were to bring ten of the wisest men in the world together and ask them what was the most stupid thing in existence, they would not be able to discover anything so stupid as astrology.Quoted in D MacHale, Comic Sections (Dublin 1993)
Physics is becoming too difficult for the physicists.Quoted in C Reid, Hilbert (London 1970)
Meine Herren, der Senat ist doch keine Badeanstalt.The faculty is not a pool changing room.[On the proposed appointment of Emmy Noether as the first woman professor.]Quoted in A L Mackay, Dictionary of Scientific Quotations (London 1994)
Who of us would not be glad to lift the veil behind which the future lies hidden; to cast a glance at the next advances of our science and at the secrets of its development during future centuries? What particular goals will there be toward which the leading mathematical spirits of coming generations will strive? What new methods and new facts in the wide and rich field of mathematical thought will the new centuries disclose? Opening of his speech to the 1900 Congress in Paris.
Every mathematical discipline goes through three periods of development: the naive, the formal, and the critical. Quoted in R Remmert, Theory of complex functions (New York, 1989).
In mathematics ... we find two tendencies present. On the one hand, the tendency towards abstraction seeks to crystallise the logical relations inherent in the maze of materials ... being studied, and to correlate the material in a systematic and orderly manner. On the other hand, the tendency towards intuitive understanding fosters a more immediate grasp of the objects one studies, a live rapport with them, so to speak, which stresses the concrete meaning of their relations. Geometry and the imagination (New York, 1952).
No other question has ever moved so profoundly the spirit of man; no other idea has so fruitfully stimulated his intellect; yet no other concept stands in greater need of clarification than that of the infinite. Quoted in E Maor, To infinity and beyond (Boston, 1987).
A mathematical theory is not to be considered complete until you have made it so clear that you can explain it to the first man whom you meet on the street.
If I were to awaken after having slept for a thousand years, my first question would be: Has the Riemann hypothesis been proven?
Mathematical science is in my opinion an indivisible whole, an organism whose vitality is conditioned upon the connection of its parts.
Mathematics knows no races or geographic boundaries; for mathematics, the cultural world is one country.
(On Cantor's set theory:) The finest product of mathematical genius and one of the supreme achievements of purely intellectual human activity.
The art of doing mathematics consists in finding that special case which contains all the germs of generality.
The further a mathematical theory is developed, the more harmoniously and uniformly does its construction proceed, and unsuspected relations are disclosed between hitherto separated branches of the science.

管中窥豹之非交换几何 (rep)

最近看到一本 Max-Planck 研究所的讲义: A walk in the noncommutative garden. Alain Connes 和 Matilde Marcolli 写的. 大师当然是闲庭信步了, 我就勉强算是管中窥豹吧, 不过也许连根毛都没看到......还是希望有同修讨论讨论. 涉及到物理的部分可能会犯很多错误, 希望同修们不吝赐教.历史上第一个非交换几何的例子当推 Heisenberg 关于光谱学中 Ritz-Rydberg 组合原理的见解. 这个原理是说, 一个原子的光谱里面, 某些谱线的频率相加正好是另一些谱线的频率, 但并非随便拿出两条谱线来, 其频率之和都是另一谱线的频率. Bohr 用定态假设和跃迁假设解释了这个原理, 但是背后的动力学原理却不清楚, 而且不能预言辐射的强度和偏振.Heisenberg 首先用牛顿力学和 Mexwell 理论研究了一下氢原子的辐射问题, 说明了在这个模型下, 辐射有一组基频, 而每个平面波分量的频率是这些基频的整系数线性组合 --- 这说明所有可能的频率组成一个加法群, 任何两个谱线频率相加必然是第三条谱线的频率. 这显然不符合 Ritz-Rydberg 组合原理.Heisenberg 决定抛弃经典概念而只研究 "可观察量", 即所有谱线组成的集合上的函数 --- 这些函数其实是真实物理量的 Fourier 系数. 所以物理量之间的乘法是这些系数(作为谱线集上的函数)之间的卷积(卷积运算本身要求集合上的群结构). 然而, Ritz-Rydberg 组合原理告诉我们, 所有谱线的集合不是一个群, 而只是一个群胚 (groupoid). 借用 Bohr 的话来说, 每条谱线是从 n 能级到 m 能级的跃迁引起的辐射. 对群胚上的函数也可以类似地定义卷积, 但这个卷积再也不是交换的了 --- 比如谱线的集合这个群胚, 每条谱线由两个整数 (n,m) 代表, 所以谱线集上的函数实际上是矩阵 q(n,m), 而这个群胚上的卷积正好就是矩阵乘法 --- 注意这些矩阵是真实物理量的 Fourier 系数, 它们的卷积对应到真实物理量的乘法. 这样 Heisenberg 不得不下结论说, 真实的物理量一定不是普通的函数 (c数), 而是一些非交换的东西(q数), 因为普通函数的 Fourier 系数必须是群上的函数, 而事实上可观察量的 "底空间" 却是一个群胚.应该注意的是, 这并不是数学家的马后炮, 而只是用数学的语言把 Heisenberg 原始的想法写出来而已.研究非交换几何一个很直接的动机(并不一定是 Connes 的动机)要追溯到 Gelfand 关于 Banach 代数的研究. 一个交换的 Banach 代数对应于一个紧致拓扑空间, 叫做这个代数的 "谱" (spectrum), 这个代数正好是这个紧致拓扑空间上的所有连续函数形成的代数. 这种 代数-几何 对应被 Grothendieck 在代数范畴里发展到了极至.一个自然的想法就是把这种对应推广到非交换的对象. 在代数范畴的推广就是所谓非交换代数几何, 在拓扑范畴的推广一般笼统称为非交换几何. Alain Connes 从某一类 Banach 代数 --- von Neumann 代数的研究出发看待整个非交换几何.von Neumann 代数跟物理有密切关系. 从某种意义上来说这很明显, 因为 Banach 代数都可以被实现为 Hilbert 空间的算子代数, 从而可能是某个物理系统的可观察量形成的代数. 事实上还有更直接的关系. 涉及到量子统计力学.统计力学研究一个由大量原子组成的复杂物理系统. 这个系统的状态很难细致描述. 但是这个系统有很多宏观性质可以非常准确地描述. 所以我们有必要区分系统的微观状态和宏观状态. 宏观状态由有限个参数(温度, 压强, 极化等等)描述, 微观状态由大量的动力学参数描述. 这个系统具有统计性质是因为对于微观态的信息缺失 --- 不同的微观态可能给出完全相同的宏观态, 这时我们说这两个微观态有同等概率描述系统真实的状态.为了对这个复杂系统进行定量研究, 我们需要假定宏观物理量是微观物理量对于某个 "系综" (微观态的概率分布) 的平均值. 然而系统在某一时刻实际上确定地处于某个微观态, 只是我们不知道关于这个微观态的信息. 所以系综的使用是有条件的, 这就是 "遍历假设", 就是说, 微观物理量在某个微观运动态下的时间平均应该可以等同于在某一固定时刻对于一个系综的平均. 我们其实还需要进一步假设实现遍历的时间间隔足够小, 小于我们测量这个系统的宏观物理量所需要的时间. 遍历假设实际上给出了一个对应:(微观态时间演化 <----> 系综). 热平衡系统的 Boltzmann 分布就是这么一个例子, 这个分布的密度函数就是 exp(bH), 其中 b 定义了这个热平衡系统的温度, 而 H 就是控制时间演化的 Hamilton 函数.在热力学极限下(粒子数趋于无穷), 这种对应(遍历假设)再也不成立了, 但是它们之间还是有一定的关系, 在量子统计学中叫做 Kubo-Martin-Schwinger 条件, 微观态的时间演化 a_t 和一个量子系综 E 满足这个条件当且仅当对任意两个可观察量 A, B 存在一个在条带 R * [0, hb] 上的全纯函数 F, 使得 F(t)= E[A a_t(B)], 而 F(t+ i hb)= E[a_t(B) A]. 其中 h 是 Planck 常数, b 定义了这个系综的温度.而在 von Neumann 代数理论中, 这个 Kubo-Martin-Schwinger 条件比较自然地出现. von Neumann 代数是由 Hilbert 空间上某些有界算子组成的. 这个代数的一个态就是 Hilbert 空间里的一个向量 x, 代数里的元素 A 对于这个态的平均值是 . 对于每个态 x, 可以定义这个代数的一个单参数自同构群 S_t. 这个单参数同构群跟态 x 正好满足 hb=1 的 Kubo-Martin-Schwinger 条件.Gelfand 已经告诉我们一个紧致拓扑空间 X 对应到一个交换的 Banach 代数, 就是 X 上所有连续函数组成的代数 C(X). 如果我们在 X 上有一个等价关系 R, 我们可以做商空间 Y = X/R. 这个商空间的商拓扑可能很糟糕, 比如, 它可能不是 Hausdorff 的. 我们希望存在相应的 Banach 代数 "C(Y)", 而且它可以由 C(X) 做某种代数上的操作得到. 由下面一些例子我们可以看到, 如果要得到一些不平凡的信息, 我们就被自然地带到非交换的范畴.先看一个最简单的例子: X = {a, b}. 那么 C(X) = C "+" C, 这里的 "+" 表示代数的直和, C 表示复数域作为自身上的一维代数. 更好的写法是用矩阵:C 00 C现在, 如果我们有等价关系 aRb, 即, 我们把这两个点等同起来, 那么有两种看法可以得到商空间对应的代数, (1) 取在等价关系下不变的函数, 即所有函数 f 使得 f(a)=f(b), 所以是常数函数, 这个意义下的 C(Y) = C. 可能有点太平凡了, 并没有反映出 Y 是通过等同 X 中的两点得到的这个 "商" 过程; (2) 把对角矩阵组成的代数扩张到整个 2 x 2 矩阵代数 M_2(C). 这是一个单代数, 只有一个极大理想 0. 所以它的谱正好就是 Y, 所以它是 "C(Y)" 的一个可能的选择.显然第二种看法会保留更多的信息. 但是我们必须要有直观的几何解释, 要不然这种推广就太过任意. 这个几何解释就是, M_2(C) 是等价关系 R 的图像上所有连续函数组成的代数. 在这个简单情况下, R 的图像是离散的, 包括四个点 (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), 其实也就是笛卡儿积 X x X. 这个图像上的一个连续函数就是一个 2 x 2 矩阵( a,b 是脚标). 这样我们给了矩阵一个几何解释. 矩阵之间的乘法可以解释为在 R 这个群胚上的卷积 ( 一个等价关系自然是一个群胚. Heisenberg 已经告诉我们怎样在群胚上做卷积了).回忆 Heisenberg 怎样得到他的q数, 就是把 Fourier 系数解释为 {所有谱线} 这个群胚上的函数而非通常情况下的 {所有整数} 这个交换群上的函数. 现在, Connes 所做的是把商空间 Y 加强为定义这个商空间的等价关系 R, 而把非交换的 C(R) (R 上的函数以对 R 的群胚结构的卷积作为乘法) 作为商空间 Y 所对应的 Banach 代数.这种处理可以推广到拓扑流形. 一个紧致拓扑流形 M, 如果我们取定一个有限开覆盖 {U_i}, i=1,...,m. 那么 M 可以看做一个商空间 --- 设 X 为 U_i 的无交并, 等价关系 R 就是 U_i 之间的粘合. 大家现在可以想象一下 R 的图像 (作为 X x X 的子空间). 其实这个图像就是所有 (U_i 交 U_j) 的无交并, 从而 C(R) 中每个元素可以写成一个 m x m 矩阵, 其 (i,j) 元是 (U_i 交 U_j) 上一个在边界趋于零的连续函数. C(R) 的乘法就是矩阵乘法, 而矩阵元 f(i,j) 和 g(j,k) 的乘积显然是 (U_i 交 U_k) 上消失在边界的函数. 所以乘法是定义好的.当然, 这种构造必须要有好处, 要不然我们就白白牺牲了交换性这么好的性质. 这个构造最表面的好处就是, 一旦我们有 M 的一个开覆盖了, 我们不用理会 M 的任何整体性质就能构造出 C(R), 所涉及到的只是开覆盖的组合结构. 这就像用 Cech 上同调一样, 在某些情况下会方便很多.理解 Connes 关于测度论的描述花了不少时间。测度的概念看似简单，但比较深入的思考让我意识到以前的理解有多么肤浅。当然，认识到自己肤浅并不代表现在就不肤浅，Connes 的好多议论还是让我一头雾水。测度是长度，面积，体积，概率这些古典数学概念在二十世纪的统一的建立在集合论基础上的表述。Lebesgue 本人的动机是为了定义积分，所以现在普遍接受的观点是，要定义一种积分，首先要定义一个测度。比如 Riemann 积分对应于 Jordan 测度，Stieltjes积分对应于推广的 Jordan 或者 Lebesgue 测度，一些随机积分对应于 Wiener 测度，等等。（说到这里，应该提一下，为了给物理学中常用的路径积分建立一个数学基础，也许需要推广现有的测度概念，这当然也是 Connes 建立非交换几何这个框架的动机之一。）在一个测度空间 X 上，有一个自然的交换 C* 代数，就是 L^无穷，所有 X 上本性有界的可测函数组成的空间，上面的乘法就是函数之间的点点乘法。有意思的是，所有的交换 C* 代数都可以实现为某个测度空间的 L^无穷。（这是一个深刻的定理，在寻找这个定理证明的过程中我接触到了所谓一般表示论，获益匪浅。）这个定理说明，经典的测度空间对应到交换 C*代数。很自然的想法是，非交换的 C* 代数会不会是测度论的自然推广呢？Connes 认识到，这并不是空泛的推广，而有着深刻的经典几何背景。在各个几何分支里面，对于商空间的研究都产生出漂亮的理论，比如几何不变量理论，辛商空间，等变上同调等等。商空间可能会有很坏的性质，比如一个流形的商空间可能不仅不是流形，甚至都不是 Hausdroff 的，或者一个代数流形的商空间可能不再是代数流形。在测度论意义下，一个测度空间的商空间可以坏到无法谈论测度的地步。一个非常有趣的例子就是环面 T 上的无理流。环面可以看作由所有经线组成，或者看成由所有纬线组成，数学上把这种结构叫“分叶”。现在我们来看环面上其它一些曲线。有一些曲线，绕经圆 p 圈，绕纬圆 q 圈，我们把这种曲线叫做斜率为 p/q 的曲线，所有这些曲线也组成整个环面。这个分叶叫做“有理流”。（之所以叫“流”是因为这些曲线可以看作环面上某个微分方程的积分曲线。）现在斜率的概念已经很直观了，所以我们可以看看斜率为无理数的那些曲线。这些曲线不是闭合的－－－环面上的闭曲线必然绕经圆和纬圆整数次。实际上这些曲线同胚于直线。固定斜率 m, 所有这个斜率的曲线也组成整个环面，这个分叶叫做“无理流”。它的动力学可以从它同一个经圆的相交看出来：这样一条曲线每绕纬圆一周，就绕经圆 m 周，也就是说，连续两次同一个经圆的交点相差 2pi m 的距离。由于 m 是无理数，所以交点永远不会重复，而且根据 Poincare 回归定理，交点会无限次回到任意小邻域，所以交点会稠密地分布在这个经圆上。如果我们想看看这个分叶的所有“叶子”的空间 X，也就是说，把每条斜率 m 的曲线看作一个点，组成一个空间，它是原来环面的一个商空间。X 上的一个可测函数应该对应于环面 T 上一个在每片叶子上为常数的可测函数，也可以看作经圆上的一个可测函数，在跟同一片叶子的所有交点上取值相同。但是根据回归性质，这样的函数必然几乎处处跟一个常数函数相等。所以说，这个商空间上的测度性质是平凡的。学过实变函数的同修也许会认识到这跟“不可测集”有点关系－－－如果在每一片叶子上取一个点组成 T 的一个子集（根据选择公理这个子集存在-所有叶子的笛卡儿积非空，从而非空），那么我们得到的是一个不可测集。那么这种商空间到底有没有跟测度论类似的结构可以研究呢？Connes 告诉我们，有，就是从这个分叶构造出的非交换 C* 代数。这个构造的原理我们在最简单的例子（两个点被等同为一个点）里面已经看到了。分叶是一个等价关系，两个点等价如果它们在同一片叶子上。等价关系决定了一个群胚，这个群胚上的函数在卷积下形成一个非交换 C* 代数。对于环面上的无理流，这个非交换的 C* 代数就是著名的“非交换环面”。如果这个分叶比较好，比如环面 T 上的有理流，以至于商空间 X 上有非平凡的测度论，那么以上构造的这个 C* 代数就有一个中心子代数，正好同构于 X 上的 L^无穷 函数代数。这说明如此构造的 C* 代数的确是经典测度论的一个推广。[附录一] 也许我应该更仔细地解释一下群胚的概念. 以 Ritz-Rydberg 原理为例子, 记从 n 能级到 m 能级的跃迁发射光子的频率为 v(n,m), 那么 v(n,m)+ v(m,l) = v(n,l). 但是 v(n,m) + v(l,k) (m 不等于 l) 就不是另一条谱线的频率. 所以群胚就好像一个 "图", 顶点之间有箭头, 这些箭头就是群胚里的元素, 它们能乘起来当且仅当一个箭头的终点是另一个箭头的起点。群就是只有一个顶点的群胚, 这样所有的元素都能相乘。从对群胚的描述来看, 它不仅是一个集合 (箭头的集合), 还需要指定每个箭头是从哪个顶点到哪个顶点的. 所以群胚最好被视为一个范畴而不仅仅是一个带有运算的集合.[附录二] 遍历假设并不意味着 (微观时间演化 <---> 系综) 这个对应. 这个对应只对热平衡态有效 ... 经典情况, Boltzmann 分布就是这种对应的所有例子. 量子统计, 在有限粒子情况, 有 Boltzmann 分布的类似物, Hamilton 量决定了分布, 但是在热力学极限 Hamilton 量不能决定分布, 可能有多个分布都反应微观态的时间演化. Kubo-Martin-Schwinger 条件就是对唯一性失效的补偿.
二零零六年十二月七日 发表于繁星客栈http://www.changhai.org/forum
by 季候风

Jacobian Conjecture(mix)

[1] IntroductionThe Jacobian Conjecture in its simplest form is the following:Jacobian Conjecture for two variables:Given two polynomials f(x,y), g(x,y) in two variables over a field k of characteristic 0, suppose that the following Jacobian condition is satisfied, J_{x,y}(f(x,y),g(x,y))=non-zero constant in kThen we have k[x,y]=k[f,g]. The above mentioned Jacobian conjecture has been open since 1939 . Many interesting theorems follow if the Jacobian Conjecture is true. For instance, one can deduce the automorphism theorem of the plane quickly. Certainly there are even harder Jacobian conjectures for three or more variables. However, there is hardly any evidence for them to be true! Some ten years ago, in collaboration with A. Sathaye we used computer software to compute the three variable case with the restriction that all three polynomials involved are of degree less than or equal to three. The result was affirmative, and a print-out of about one hundred pages was generated. One simple and useful result from the Jacobian conjecture is that by a simple reduction argument we know if there is a counter example to the Jacobian conjecture, then there must be a counter example $f, g$ with the degrees of $f, g$ non-divisible by each other. In the following we usually assume that the pair $f, g$ in our discussion are with degrees non-divisible. [2] A Brief HistoryThe history of the Jacobian conjecture is well-known, over a hundred papers had been published on it. Originally the conjecture was formulated by Keller as a problem associated with the ``Ganze Cremona--Transformationen." In the late 60's, we were informed about this problem by the late Professor Zariski. Since the kernel of the problem is about the Jacobian of a transformation, we decided to call it the Jacobian Conjecture. Abhyankar was one of the main movers of this conjecture and motivated research on the subject. This conjecture could be understood by anyone with a background in Calculus and hence it was studied by mathematicians in many disciplines, especially Algebra, Analysis, and Complex Geometry. From 1971 to 1978, we concentrated on this conjecture and established several results. Among them we proved that if the degrees of the two polynomials in two variables are less than or equal to one hundred, then the conjecture is true. We summarized those results in an article in 1983. The article of Bass, Connell and Wright is indispensable reading. The authors presented many equivalent forms of the conjecture and discussed many lines of research. Their K-theoretic approaches and S.S.S.Wang's result about arbitrary dimensional result of quadratic equations are especially significant. Recently, the activities of many good mathematicians, among them A.Sathaye, D.T. Le, Friedland, Kaliman and others aroused our interest again. [3] Basic ConceptsThe approaches used by analysts and geometers are beyond the scope of this presentation. The algebraic approaches are essentially the following. Approaches (1)the K-theoretic method or the stable method, had been developed by Bass-Connell-Wright. In this method, one trades the coefficients of the polynomials with the degrees of the polynomials and the dimension of the space. Eventually, they showed that if the dimension of the space could be allowed to be arbitrarily large, then the degrees of the polynomials could be restricted to three. Note that S.S.S.Wang showed that the Jacobian conjecture is true for quadratic equations for any dimension. There is a gap of degree three and two which could not be bridged for the past ten years. Approach (2)the classical Jacobian criteria for power series, implies that $k[[f(x,y),g(x,y) ]]=k[[x,y]]$. Thus we have x=F(f,g), y=G(f,g)as power series. By the uniqueness of expressions, if the Jacobian conjecture is true, then $F,G$ must be polynomials. To prove the Jacobian conjecture, it suffices to show that F,G are polynomials. This is one approach started by Abhyankar-Bass. Thus they consider the ``Inverse degree". Approach (3)It is the study of the two curves $f=0, g=0$ over the field k and the curve $F(x,f,g)=0$ over the field $k(x)$, especially the singularities of them at infinity. This was an approach of Abhyankar-Moh, and was partially done in Abhyankar's work and completely finished in our work. Many concrete results were established. We will explain more about this approach in the following section. The general condition:let F:C^n---->C^n be a polynomial map, i.e., F(x_1,x_2,...,x_n)=(f_1(x_1,x_2,...,x_n),f_2(x_1,x_2,...,x_n),...,f_n(x_1,x_2,...,x_n),) for certain polynomials f_i in C[x_1,x_2,...,x_n].If F is invertible, then its Jacobi determinant det(delta f_i /delta x_i)which is a polynomial over C vanishes nowhere and hence must be a non-zero constant.The Jacobian conjecture asserts the converse: every polynomial map F:C^n---->C^n whose Jacobi determinant is a non-zero constant is invertible.